Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直線坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為 （t為參數，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ=4cosθ．
（1）說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；
（2）直線C3的極坐標方程為θ=α0 ， 其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，得 ，兩式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．

∴C1為以（0，1）為圓心，以a為半徑的圓．

化為一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①

由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0

（2）

解：C2：ρ=4cosθ，兩邊同時乘ρ得ρ2=4ρcosθ，

∴x2+y2=4x，②

即（x﹣2）2+y2=4．

由C3：θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，得y=2x，

∵曲線C1與C2的公共點都在C3上，

∴y=2x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程，

①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即為C3 ，

∴1﹣a2=0，

∴a=1（a＞0）

【解析】簡單曲線的極坐標方程；參數方程的概念.（1）把曲線C1的參數方程變形，然后兩邊平方作和即可得到普通方程，可知曲線C1是圓，化為一般式，結合x2+y2=ρ2 ， y=ρsinθ化為極坐標方程；（2）化曲線C2、C3的極坐標方程為直角坐標方程，由條件可知y=x為圓C1與C2的公共弦所在直線方程，把C1與C2的方程作差，結合公共弦所在直線方程為y=x可得1﹣a2=0，則a值可求．本題考查參數方程即簡單曲線的極坐標方程，考查了極坐標與直角坐標的互化，訓練了兩圓公共弦所在直線方程的求法，是基礎題．
【考點精析】關于本題考查的參數方程的定義，需要了解在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數的函數并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程才能得出正確答案．