Question

【題目】我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節水方案，對居民用水情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求直方圖中的a值；
（2）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數．說明理由；
（3）估計居民月均用水量的中位數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵1=（0.08+0.16+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，

∴解得：a=0.3．

（2）

解：估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數為3.6萬，理由如下：

由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，

又樣本容量=30萬，

則樣本中月均用水量不低于3噸的戶數為30×0.12=3.6萬

（3）

解：根據頻率分布直方圖，得；

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，

0.48+0.5×0.5=0.73＞0.5，

設中位數為a，則中位數a=2+ =2.04

【解析】（1）先根據頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標乘以組距求出9個矩形的面積即頻率，再根據直方圖的總頻率為1求出a的值；（II）根據已知中的頻率分布直方圖先求出月均用水量不低于3噸的頻率，結合樣本容量為30萬，進而得解．（Ⅲ）根據頻率分布直方圖，求出使直方圖中左右兩邊頻率相等對應的橫坐標的值；本題用樣本估計總體，是研究統計問題的一個基本思想方法．頻率分布直方圖中小長方形的面積=組距× ，各個矩形面積之和等于1，能根據直方圖求眾數和中位數，屬于常規題型．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖和平均數、中位數、眾數是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；⑵平均數、眾數和中位數都有單位；⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，應用最廣；⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據．