Question

【題目】已知函數，，是函數的導函數．

（1）若，求證：對任意，；

（2）若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）當時，，只需證明的最小值大于等于零即可；

（2）法一：函數有兩個極值點，即在上有兩個不等根，轉化為在上有兩個不等根，注意到和函數互為反函數，將所求問題進一步轉化為和函數有兩個不同的交點，構造函數，利用導數解決即可.法二：有兩個變號零點，分，兩種情況討論，在討論時，注意二次求導，結合極限即可得到答案.

（1）當時，，，

在上單調遞增，

，

∴當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

∴，證畢．

（2）法一：函數有兩個極值點，

即有兩個變號零點，

即在上有兩個不等根，

即在上有兩個不等根，

即函數和的圖象有兩個不同的交點．

∵函數和函數互為反函數，

∴只需函數和函數有兩個不同的交點，

即方程有兩個不等正根，

令，，

∴當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

∴，

又∵時，；時，，

∴．

法二：函數有兩個極值點，即有兩個變號零點，

當時，，由（1），則在

上是增函數，無極值點，

當時，令，則，因為，

，且在上是增函數，存在，使得，

當時，，當時，，所以在上單調遞

減，在上單調遞增，則，由，

得，則，令，

，在上是減函數，所以，

即，又時，；時，，故在

上有兩個變號的零點，從而函數有兩個極值點，所以.

【點晴】

本題考查利用導數研究函數的極值、證明不等式的問題，考查學生的邏輯推理能力，轉化與化歸的思想，是一道中檔題.