Question

【題目】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求證：a，b，c依次成等比數(shù)列；
（2）若b=2，求u=| |的最小值，并求u達(dá)到最小值時(shí)cosB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，

∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，

即2sinAsinC﹣2sin2B=0，

即sinAsinC=sin2B，

即ac=b2，

∴a，b，c依次成等比數(shù)列

（2）解：若b=2，則ac=4，

則u=| |=| |=|a﹣c|+| |≥2 ，

當(dāng)且僅當(dāng)|a﹣c|= 時(shí)，u=| |取最小值2 ，

此時(shí)cosB= = = ．

【解析】（1）將已知中2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC展開合并，再用正弦定理即可得到結(jié)論；（2）若b=2，則ac=4，利用基本不等式，可得當(dāng)且僅當(dāng)|a﹣c|= 時(shí)，u=| |取最小值2 ，再由余弦定理，可得cosB的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用基本不等式在最值問題中的應(yīng)用和正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”；正弦定理:．