Question

【題目】已知函數為自然對數的底數）．

（1）若曲線在點（處的切線與曲線在點處的切線互相垂直，求函數在區間上的最大值；

（2）設函數，試討論函數零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）分別求出y=f（x）與y=g（x）在x=0處的導數，利用斜率之積等于-1求得，得到f（x）解析式，再由導數判斷f（x）在區間[-1，1]上單調遞減，從而求得最大值；

（2）函數在R上單調遞增，僅在x=1處有一個零點，且x＜1時，g（x）＜0，再由導數分類判定f（x）的零點情況，則答案可求．

（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，

∴f′（0）=a，g′（0）=1，

由題意知，，f（x）在區間[-1，1]上單調遞減，

∴；

（2）函數g（x）=ex-e在R上單調遞增，僅在x=1處有一個零點，且x＜1時，g（x）＜0，

又f′（x）=-3x2+a．

①當a≤0時，f′（x）≤0，f（x）在R上單調遞減，且過點（0，-），f（-1）=＞0．

即f（x）在x≤0時，必有一個零點，此時y=h（x）有兩個零點；

②當a＞0時，令f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．

則是函數f（x）的一個極小值點，是函數f（x）的一個極大值點．

而f（-）=＜0，

現在討論極大值的情況：

f（）=．

當f（）＜0，即a＜時，函數f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此時y=h（x）有兩個零點；

當f（）=0，即a=時，函數f（x）在（0，+∞）上有一個零點，，此時y=h（x）有三個零點；

當f（）＞0，即a＞時，函數f（x）在（0，+∞）上有兩個零點，一個零點小于，一個零點大于．

若f（1）=a-＜0，即a＜時，y=h（x）有四個零點；

f（1）=a=0，即a=時，y=h（x）有三個零點；

f（1）=a-＞0，即a＞時，y=h（x）有兩個零點．

綜上所述，當a＜或a＞時，y=h（x）有兩個零點；當a=或a=時，y=h（x）有三個零點；當＜a＜時，y=h（x）有四個零點．