Question

【題目】一商家誠邀甲、乙兩名圍棋高手進(jìn)行一場網(wǎng)絡(luò)國棋比賽，每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對局費(fèi)，同時商家每局從轉(zhuǎn)讓網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)播權(quán)及廣告宣傳中獲利12100元，從兩名棋手以往比賽中得知，甲每局獲勝的概率為，乙每局獲勝的概率為，兩名棋手約定：最多下五局，先連勝兩局者獲勝，比賽結(jié)束，比賽結(jié)束后，商家為獲勝者頒發(fā)5000元的獎金，若沒有決出獲勝者則各頒發(fā)2500元.

（1）求下完五局且甲獲勝的概率是多少；

（2）求商家從這場網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是多少.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意,連勝兩局獲勝.若比賽五局,且甲獲勝,則五局的勝負(fù)情況為乙勝,甲勝,乙勝,甲勝,甲勝.進(jìn)而由各自取勝的概率即可求解.

（2）根據(jù)題意可知,兩人比賽局?jǐn)?shù)可能的取值有.由所給取勝的概率,分別求得這四種情況下的概率,即可求得比賽局?jǐn)?shù)的期望.扣除支出,即為商家獲得的收益情況.

（1）根據(jù)題意,先連勝兩局者獲勝.則下完五局甲獲勝,這五局的勝負(fù)情況分別為:

乙勝,甲勝,乙勝,甲勝,甲勝.

甲每局獲勝的概率為,乙每局獲勝的概率為

所以下完五局甲獲勝的概率為

（2）設(shè)為比賽的局?jǐn)?shù),表示商家獲得的收益

則

由題意可知,可能的取值有

當(dāng)比賽五局時,前四局兩人各勝兩局,且第五局無論誰勝商家都需支付5000元,因而

所以由離散型數(shù)學(xué)期望公式可得

故

所以商家從這場網(wǎng)絡(luò)棋賽中獲得的收益的數(shù)學(xué)期望是