Question

某海域有、兩個島嶼，島在島正東4海里處。經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發現過魚群。以、所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系。

（1）求曲線的標準方程；（6分）
（2）某日，研究人員在、兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），、兩島收到魚群在處反射信號的時間比為，問你能否確定處的位置（即點的坐標）？（8分）

Answer 1

（1） ；（2）點的坐標為或。

試題分析：（1）由題意知曲線是以、為焦點且長軸長為8的橢圓         3分
又，則，故                     5分
所以曲線的方程是                           6分
（2）由于、兩島收到魚群發射信號的時間比為，
因此設此時距、兩島的距離分別比為             7分
即魚群分別距、兩島的距離為5海里和3海里。       8分
設，，由 ，    10分
，                                     12分 
                                     13分
點的坐標為或                 14分
點評：中檔題，利用橢圓的定義，明確曲線是橢圓并求得其標準方程為，作為實際問題解決，很好的體現了數學的妙用。