Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為 （t為參數， ），以坐標原點o為極點，x軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位，建立極坐標系.曲線
（1）若直線l曲線 相交于點 ， ， ，證明： 為定值；
（2）將曲線 上的任意點 作伸縮變換 后，得到曲線 上的點 ，求曲線 的內接矩形 周長的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線

，

（2）解：伸縮變換后得 ： .其參數方程為： .

不妨設點 在第一象限，由對稱性知：周長為

，（ 時取等號）周長最大為8

【解析】(1)由已知把直線的參數方程代入到圓的方程得到關于t的一元二次方程，借助韋達定理求出關系代入要求的式子即可得到結果。(2)根據伸縮變換轉化可得出圓的標準方程，再轉化為極坐標方程因為 A ( m , n ) 在第一象限由對稱性可知周長為 4 ( m + n ) = 4 ( cos θ + sin θ )，整理成同名的三角函數式借助正弦函數的最值情況求出周長的最大值。