Question

【題目】已知函數，記為的導函數.

（1）若曲線在點處的切線垂直于直線，求的值；

（2）討論的解的個數；

（3）證明：對任意的，恒有.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析(3)詳見解析

【解析】試題分析：（1）求出的導數，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為，解方程可得；（2）由題意可得：，令，求出導數、單調區間和極值、最值，討論的取值范圍，即可得到解得個數；（3））令，利用導數可判斷在單調遞減，結合，可得結果.

試題解析：（1）由已知可得，函數的定義域為

，所以在點處的切線的斜率

又切線垂直于直線，所以，即，所以

（2）由（1）可得，令得，

令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增.

又當時，，當時，，當時，，

故當時，無解；

當時，有唯一解；

當時，有兩解.

（3）令

在單調遞減，又

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