Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過拋物線上一點作拋物線的切線交軸于點，交軸于點，當時，．

（1）判斷的形狀，并求拋物線的方程；

（2）若兩點在拋物線上，且滿足，其中點，若拋物線上存在異于的點，使得經過三點的圓和拋物線在點處有相同的切線，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：(1)設，則切線的方程為，且，令 ，可得 所以為等腰三角形，且為的中點，所以，又因，求得，由此即可求出 ，進而求出拋物線方程為； (2)由已知，得的坐標分別為，設，求出的中垂線方程和的中垂線方程為，聯立，得圓心坐標為 ：，由，即可求出，進而求得點坐標．

試題解析：(1)設，

則切線的方程為，且，

所以，

，所以，

所以為等腰三角形，且為的中點，

所以，因為，

所以，所以，得，

所以拋物線方程為；

(2)由已知，得的坐標分別為，設，

的中垂線方程為，①

的中垂線方程為，②

聯立①②，解得圓心坐標為 ：，

由，得，

因為，所以，

所以點坐標為．