Question

【題目】已知a，b為常數，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有兩個相等實數根．

(1)求函數f(x)的解析式；

(2)當x∈[1,2]時，求f(x)的值域；

(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，試判斷F(x)的奇偶性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝－x2＋x;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】試題分析:(1) 由f(2)＝0以及方程f(x)＝x有兩個相等實數根,求出a,b的值,代入原函數求出解析式;(2)對二次函數f(x)配方, 顯然函數f(x)在[1,2]上是減函數，分別求出端點值得出函數的值域;(3)用奇函數的定義判斷并證明函數的奇偶性.

試題解析:

(1)已知f(x)＝ax2＋bx.

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，即2a＋b＝0①

方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

即ax2＋(b－1)x＝0有兩個相等實根，且a≠0，∴b－1＝0，∴b＝1，代入①得a＝－.

∴f(x)＝－x2＋x.

(2)由(1)知f(x)＝－ (x－1)2＋.顯然函數f(x)在[1,2]上是減函數，

∴x＝1時，ymax＝，x＝2時，ymin＝0.∴x∈[1,2]時，函數的值域是.

(3)∵F(x)＝f(x)－f(－x)＝－＝2x.

∴F(x)是奇函數．

證明：∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，

∴F(x)＝2x是奇函數．

點睛:本題考查求函數的解析式,函數的值域以及函數的奇偶性. 二次函數在閉區間上必有最大值和最小值，它只能在區間的端點或二次函數圖象的頂點處取到；常見題型有：（1）軸固定區間也固定；（2）軸動（軸含參數），區間固定；（3）軸固定，區間動（區間含參數）. 找最值的關鍵是：（1）圖象的開口方向；（2）對稱軸與區間的位置關系；（3）結合圖象及單調性確定函數最值.