Question

【題目】設數列的首項，且，，．

（Ⅰ）證明：是等比數列；

（Ⅱ）若，數列中是否存在連續三項成等差數列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由．

（Ⅲ）若是遞增數列，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）成等差數列（3）

【解析】

（I）由，根據等比數列的定義可得結果；（II）利用（I）可得，進而得到，若中存在連續三項成等差數列，則必有，解出即可；(III )如果成立，可得，對分奇數、偶數兩種情況討論，即可得出的取值范圍．

（Ⅰ）因為，且，

所以數列是首項為，公比為的等比數列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知是首項為，公比為的等比數列．

∴

若中存在連續三項成等差數列，則必有，

即

解得，即成等差數列．

（Ⅲ）如果成立，即對任意自然數均成立．

化簡得

當為偶數時，，因為是遞減數列，

所以，即；

當為奇數時，，因為是遞增數列，

所以，即；

故的取值范圍為．