Question

【題目】如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD，經(jīng)測量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，擬過線段BC上一點(diǎn)E設(shè)計(jì)一條直路EF（點(diǎn)F在四邊形ABCD的邊上，不計(jì)路的寬度），將綠地分為面積之比為1：3的左右兩部分，分別種植不同的花卉，設(shè)EC=x百米，EF=y百米．

（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，試確定點(diǎn)E的位置；
（2）試求x的值，使路EF的長度y最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，由已知 ，

又∵ ，E是BC的中點(diǎn)

（2）解：①當(dāng)點(diǎn)F在CD上，即1≤x≤2時(shí)，利用面積關(guān)系可得 ，

再由余弦定理可得 ；當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號

②當(dāng)點(diǎn)F在DA上時(shí)，即0≤x＜1時(shí)，利用面積關(guān)系可得DF=1﹣x，

（ⅰ）當(dāng)CE＜DF時(shí)，過E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=1﹣2x，∠EGF=60°，

利用余弦定理得

（ⅱ）同理當(dāng)CE≥DF，過E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=2x﹣1，∠EGF=120°，

利用余弦定理得

由（ⅰ）、（ⅱ）可得 ，0≤x＜1

∴ = ，

∵0≤x＜1，∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)取等號，

由①②可知當(dāng)x= 時(shí)，路EF的長度最短為

【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)， ，即 ，從而確定點(diǎn)E的位置；（2）分類討論，確定y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法求最值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)．