Question

（14分）已知在（其中n<15）的展開式中：
（1）求二項式展開式中各項系數之和；
（2）若展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數成等差數列，求n的值；
（3）在（2）的條件下寫出它展開式中的有理項.

Answer 1

（1）; （2）n=14; （3）,,.

試題分析：（1）二項展開式中各項的系數和就是，由可得結果；（2）由二項式系數，，成等差數列，，解得n="14;" （3）可知，有理項中知應該是6的倍數.
解：（1）因為本題二項展開式中各項的系數就是各項的二項式系數
所以各項系數之和為           4分
（2）（其中n<15）的展開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數
分別是，，．-----------6分
依題意得，寫成：，           7分
化簡得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，
即：n²-37n+322=0,解得n=14或n=23，因為n<15所以n=14。       9分
(2)展開式的通項 
           11分
展開式中的有理項當且僅當r是6的倍數，           12分
0≤r≤14，所以展開式中的有理項共3項是：
；
；
            14分