Question

【題目】如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，

（1）證明：平面平面；

（2）當平面與平面所成銳二面角的余弦值，求直線與平面所成角正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過D作，垂直為O，連接，利用勾股定理證得，結合，證得平面，即可得到平面平面；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，通過計算法向量的夾角的余弦值，求得的長，再結合線面角的定義，即可求解.

（1）過D作，垂直為O，連接，

在中，，，可得，

在中，

由余弦定理可得，

所以，

因為，所以為等邊三角形，所以，

所以，可得，又由，且，

所以平面，又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，以O為原點，，，方向分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標系

設，則，，，，

所以，

設平面的法向量為，則，即

令，，

平面的法向量為，

由，解得

因為平面，所以為與平面所成的角，所以，

即直線與平面所成角正弦值.