Question

【題目】若實數數列滿足，則稱數列為“數列”．

（Ⅰ）若數列是數列，且，求，的值；

（Ⅱ）求證：若數列是數列，則的項不可能全是正數，也不可能全是負數；

（Ⅲ）若數列為數列，且中不含值為零的項，記前項中值為負數的項的個數為，求所有可能取值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）的取值集合為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，再由可得，，；（Ⅱ）此命題是否定性命題，可用反證法證明，即假設數列中各項全是正數（或全是負數），由遞推公式推出矛盾即可；（Ⅲ）這類問題的數列應該是有一定的規律，最簡單的就是周期數列，首先由（Ⅱ）可知數列中項既有負數也有正數，

且最多連續兩項都是負數，最多連續三項都是正數．因此存在最小的正整數滿足（）．設，則由遞推公式計算，最后可知數列是周期為9的周期數列，由剛才的計算可知在這9個數中有6個正數，3個負數，接著只要對分別討論（關鍵是中有幾個負數）．

試題解析：（Ⅰ）因為是數列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（Ⅱ）假設數列的項都是正數，即，

所以，，與假設矛盾．

故數列的項不可能全是正數,

假設數列的項都是負數，

則而,與假設矛盾,

故數列的項不可能全是負數．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知數列中項既有負數也有正數，

且最多連續兩項都是負數，最多連續三項都是正數．

因此存在最小的正整數滿足（）．

設，則

．

,

故有, 即數列是周期為9的數列

由上可知這9項中為負數，這兩項中一個為正數，另一個為負數，其余項都是正數．

因為,

所以當時，;

當時，這項中至多有一項為負數，而且負數項只能是,

記這項中負數項的個數為，

當時，若則，故為負數，

此時，；

若則，故為負數．

此時，，

當時，必須為負數，，,

綜上可知的取值集合為．