Question

【題目】為響應新農村建設，某村計劃對現有舊水渠進行改造，已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧，頂點為水渠最底端（如圖），渠寬為4m，渠深為2m．

（1）考慮到農村耕地面積的減少，為節約水資源，要減少水渠的過水量，在原水渠內填土，使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠（如圖（1）建立平面直角坐標系），新水渠底面與地面平行（不改變渠寬），問新水渠底寬為多少時，所填土的土方量最少？

（2）考慮到新建果園的灌溉需求，要增大水渠的過水量，現把舊水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的新水渠（如圖（2）建立平面直角坐標系），使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請你設計水渠改挖后的底寬，并求出這個底寬．

Answer 1

【答案】（1）；（2）改挖后的水渠的底寬為時，可使挖土的土方量最少

【解析】試題分析：（1）建立坐標系，設拋物線的方程為,由已知點在拋物線上，推導出拋物線的方程，可得梯形面積，利用導數可得結論；(2)為了使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切,設切點，則函數在點的切線方程為,由此能推導出設計改挖后的水渠的底寬為時，可使用權所挖土的土方星最少.

試題解析：建立如圖所示的直角坐標系，

設拋物線的方程為，由已知點在拋物線上，得，所以拋物線的方程為.

（1）為了使填入的土最少，內接等腰梯形的面積要最大，如圖1，設點，則此時梯形APQB的面積，

∴,令，得，

當時， ， 單調遞增，當時， ， 單調遞減，

所以當時， 有最大值，改挖后的水渠的底寬為m時，可使填土的土方量最少.

（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，如圖2，設切點，則函數在點M處的切線方程為，分別令得，所以此時梯形OABC的面積，當且僅當時，等號成立，此時.所以設計改挖后的水渠的底寬為m時，可使挖土的土方量最少.