Question

【題目】對于函數f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為函數f（x）的不動點．已知f（x）=x2+bx+c

（1）當b=2，c=-6時，求函數f（x）的不動點；

（2）已知f（x）有兩個不動點為，求函數y=f（x）的零點；

（3）在（2）的條件下，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或；（3）.

【解析】

（1）設x為不動點，則有f（x）＝x，變形為x2+x﹣6＝0，解方程即可．

（2）根據題中條件得x2+（b﹣1）x+c＝0利用根與系數的關系得出b，c的值，最后解方程f（x）＝0即可得出f（x）的零點．

（3）由題意得f（x）＞0即（x+2）（x﹣1）＞0，解之即可．

（1）f（x）=x2+2x-6，

由f（x）=x，

∴x2+x-6=0，

∴（x-2）（x+3）=0，

∴x=2或x=-3，

∴f（x）的不動點為2或-3.

（2）∵f（x）有兩個不動點，即f（x）=x有兩個根，

∴x2+（b-1）x+c=0，

∵，，

∴b=1，c=-2，

∴f（x）=x2+x-2，

令f（x）=0，

即（x+2）（x-1）=0，

解得x=-2或x=1，

∴f（x）的零點為x=1或x=-2.

（3）f（x）＞0，

∴（x+2）（x-1）＞0，

∴x＞1或x＜-2，

∴f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）.