Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面， ， ．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）若動點在底面邊界及內部，二面角的余弦值為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：（1）取AC中點O，以O為坐標原點，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面PBC的法向量，利用公式即可求得直線PA與平面PBC所成角的正弦值；（2）確定平面PAC的法向量，設M（m，n，0），求出平面PAM的法向量，利用，即可求得結論．

試題解析：

（1）取AC中點O，∵AB=BC，AP=PC，∴OB⊥OC， OP⊥OC.

∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC， ∴OB⊥平面PAC， ∴OB⊥OP.

以O為坐標原點，OB、OC、OP分別為 x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

∵AB=BC=PA=，∴OB=OC=OP=1，

∴，

∴

設平面PBC的法向量， 由得方程組，取，∴.

∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．

（2）由題意平面PAC的法向量，設平面PAM的法向量為 ，

∵ ，

∴，取∴.

∴，∴n+1=3m或n+1=-3m（舍去）.

∴B點到AM的最小值為垂直距離.