【題目】四棱錐
中，底面
為矩形， 
.側面
底面
.
（1）證明： 
；
（2）設
與平面
所成的角為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】【試題分析】（1）設
中點為
，連接
，由已知
，所以
，根據面面垂直的性質定理，有
平面
，以
為原點， 
為
軸， 
為
軸，建立空間直角坐標系，計算
可得證.（2）設
，利用直線
和平面
所成角為
，計算
，再利用平面
和平面
的法向量計算二面角的余弦值.
【試題解析】
解：（1）證法一：設
中點為
，連接
，
由已知
，所以
，
而平面
平面
，交線為
故
平面
以
為原點， 
為
軸， 
為
軸，如圖建立空間直角坐標系，并設
，
則
所以
，所以
.
證法二：設
中點為
，連接
，由已知
，所以
，
而平面
平面
，交線為
故
平面
，從而
①
在矩形
中，連接
，設
與
交于
，
則由
知
，所以
所以
，故
②
由①②知
平面
所以
.
（2）由
，平面
平面
，交線為
，可得
平面
，
所以平面
平面
，交線為
過
作
，垂足為
，則
平面
與平面
所成的角即為角
所以
從而三角形
為等邊三角形， 
（也可以用向量法求出
，設
，則
，可求得平面
的一個法向量為
，而
，由
可解得
）
設平面
的一個法向量為
，則
，
， 可取
設平面
的一個法向量為
，則
，
，可取
于是
，
故二面角
的余弦值為
.
芝麻開花課程新體驗系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地
戶家庭的年收入
（萬元）和年飲食支出
（萬元）的統計資料如下表：
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（1）求
關于
的線性回歸方程；（結果保留到小數點后
為數字）
（2）利用（1）中的回歸方程，分析這
戶家庭的年飲食支出的變化情況，并預測該地年收入
萬元的家庭的年飲食支出.（結果保留到小數點后
位數字）
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
， 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，圓
的圓心為
.已知點
，且
為圓
上的動點，線段
的中垂線交
于點
.
（Ⅰ）求點
的軌跡方程；
（Ⅱ）設點
的軌跡為曲線
，拋物線
： 
的焦點為
.
， 
是過點
互相垂直的兩條直線，直線
與曲線
交于
， 
兩點，直線
與曲線
交于
， 
兩點，求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四棱錐
， 
平面
，底面
中， 
， 
，且
， 
為
的中點．
（1）求證：平面
平面
；
（2）問在棱
上是否存在點
，使
平面
，若存在，請求出二面角
的余弦值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】微信是當前主要的社交應用之一，有著幾億用戶，覆蓋范圍廣，及時快捷，作為移動支付的重要形式，微信支付成為人們支付的重要方式和手段。某公司為了解人們對“微信支付”認可度，對
年齡段的人群隨機抽取
人進行了一次“你是否喜歡微信支付”的問卷調查，根據調查結果得到如下統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：
組號 | 分組 | 喜歡微信支付的人數 | 喜歡微信支付的人數 占本組的頻率 |
第一組 |
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第二組 |
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第三組 |
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第四組 |
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第五組 |
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第六組 |
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（1）補全頻率分布直方圖，并求
， 
， 
的值；
（2）在第四、五、六組“喜歡微信支付”的人中，用分層抽樣的方法抽取
人參加“微信支付日鼓勵金”活動，求第四、五、六組應分別抽取的人數；
（3）在（2）中抽取的
人中隨機選派
人做采訪嘉賓，求所選派的
人沒有第四組人的概率.
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