Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的最小值及曲線在點處的切線方程；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為；切線方程為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先求得函數的定義與導函數，然后根據導函數與0的關系得到函數的單調性，由此求得函數的最小值，再根據導數的幾何意義求得切線方程的斜率，從而求得切線的方程；（2）首先將問題轉化為在上恒成立，然后設，從而通過求導研究函數的單調性，并求得其最大值，進而求得的取值范圍．

試題解析：（1）函數的定義域為，

，

令，得；令，得；令，得；

故函數在上單調遞減，在上單調遞增，

故函數的最小值為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

，即切線的斜率為2，

故所求切線方程為，即，

化簡得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）不等式恒成立等價于在上恒成立，可得在上恒成立，

設，則，

令，得，或（舍去）

當時，；當時，，

當變化時變化情況如下表：

		1
		0
	單調遞增	-2	單調遞減

所以當時，取得最大值，，所以，

所以實數的取值范圍是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分