【題目】已知函數
（其中
）
(Ⅰ) 若
在其定義域內為單調遞減函數，求
的取值范圍；
(Ⅱ) 是否存在實數
，使得當
時，不等式
恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中
是自然對數的底數，＝2.71828…）.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) 
.
【解析】
試題分析：(Ⅰ)首先求得導函數，然后分
、
討論函數的單調性，由此求得
的取值范圍；(Ⅱ) 首先求得導函數，然后分
、
討論函數的單調性并求得其極值，然后根據各段函數的最值求得
的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) 由于
，其中
，
，
只需
在
時恒成立，
①當
時，
，于是
在
為減函數，
②當
時，由
在
時恒成立，即
在恒成立，
可知當時，
，
由
得
，這與不符，舍去.
綜上所述，
的取值范圍是
.
(Ⅱ) 
.
(ⅰ) 當時，
，于是
在為減函數，則在
也為減函數，
知
恒成立，不合題意，舍去
(ⅱ) 當
時，由
得
.列表得
x | (0， |
| ( |
| ＋ | 0 | － |
| ↗ | 極大值 | ↘ |
①若
，即
，此時
在上單調遞減，
知
，而
，
于是
恒成立，不合題意，舍去.
②若
，即
時，
此時在(
，
上為增函數，在(
,
)上為減函數，
要使在恒有
恒成立，則必有
則
所以
由于
，則
，所以
.
綜上所述，存在實數，使得
恒成立
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，設橢圓的中心為原點
，長軸在
軸上，上頂點為
，左、右焦點分別為
，線段
的中點分別為
，且
是面積為
的直角三角形.
（1）求該橢圓的離心率和標準方程；
（2）過
作直線交橢圓于
兩點，使
，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為2，左、右頂點分別為
，
是橢圓上一點，記直線
的斜率為
，且有
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓交于
兩點，以
為直徑的圓經過原點，且線段
的垂直平分線在
軸上的截距為
，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某化工廠近期要生產一批化工試劑，經市場調查得知，生產這批試劑廠家的生產成本有以下三個部分：①生產1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產1單位試劑補貼所有職工20元組成；③后續保養的平均費用是每單位
元（試劑的總產量為
單位，
）.
（1）把生產每單位試劑的成本表示為
的函數關系
，并求的最小值；
（2）如果產品全部賣出，據測算銷售額
（元）關于產量（單位）的函數關系為
，試問：當產量為多少時生產這批試劑的利潤最高？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，點
為坐標原點，若橢圓
與曲線
的交點分別為
（
下
上），且兩點滿足
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓上異于其頂點的任一點
，作
的兩條切線，切點分別為
，且直線
在
軸、
軸上的截距分別為
，證明：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知圓
及點
，
．
（1）若直線
平行于
，與圓
相交于
，
兩點，
，求直線
的方程；
（2）在圓
上是否存在點
，使得
？若存在，求點的個數；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記
表示
中的最大值，如
.已知函數
，
.
（1）設
，求函數
在
上零點的個數；
（2）試探究是否存在實數
，使得
對
恒成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，說明理由.
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