Question

【題目】(數學文卷·2017屆江西省玉山一中高三上學期第二次月考第16題)中國傳統文化中很多內容體現了數學的對稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現了相互轉化、對稱統一的形式美、和諧美．給出定義：能夠將圓O的周長和面積同時平分的函數稱為這個圓的“優美函數”．給出下列命題：①對于任意一個圓O，其“優美函數”有無數個；②函數可以是某個圓的“優美函數”；③正弦函數可以同時是無數個圓的“優美函數”；④函數是“優美函數”的充要條件為函數的圖象是中心對稱圖形．其中正確的命題是__（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】①③

【解析】

①對于任意一個圓O，其“優美函數”有無數個，注意函數是奇函數，即可得結果。故①是“優美函數”；②函數為偶函數，其不可能為圓的“優美函數”；對于③正弦函數是奇函數，將圓的圓心放在函數的對稱中心上，則函數是該圓的“優美函數”，故有無數個圓成立，故③正確；對于④，函數的圖象是中心對稱圖形，則函數一定是“優美函數”；但函數是“優美函數”，其圖象不一定是中心對稱圖形。如圖。