Question

若一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這個(gè)數(shù)列為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列是調(diào)和數(shù)列，對(duì)于各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，滿足．
（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）把數(shù)列中所有項(xiàng)按如圖所示的規(guī)律排成一個(gè)三角形
數(shù)表，當(dāng)時(shí)，求第行各數(shù)的和；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的數(shù)列，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134934859548.gif" style="vertical-align:middle;" />，且數(shù)列中各項(xiàng)都是正數(shù)，
所以．
設(shè)，  ①
因?yàn)閿?shù)列是調(diào)和數(shù)列，故，．
所以，．  ②
由①得，代入②式得，
所以，即.
故，所以數(shù)列是等比數(shù)列．      …………………………5分
（Ⅱ）設(shè)的公比為，則，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有個(gè)數(shù)，
所以三角形數(shù)表中第1行至第行共含有個(gè)數(shù).
因此第行第1個(gè)數(shù)是數(shù)列中的第項(xiàng).
故第行第1個(gè)數(shù)是，
所以第行各數(shù)的和為． ………… 9分
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134935342375.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以．
又，
，
所以
.
所以．  ………………………14分