Question

己知函數在處的切線斜率為.
（1）求實數的值及函數的單調區間；
（2）設，對使得恒成立，求正實數的取值范圍；
（3）證明：.

Answer 1

（1）；的單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）      （3）證明見解析

試題分析：（1）由及處的切線斜率為，可得，即可求得，故，由及即可求得的單調區間；
（2）由，，使得恒成立，只須，由（1）可求得，因為，故只須，即可求得.
（3）要證明,
只須證，即證，由（1）易知，當時，，為減函數，，即，故當時，，，進而再利用裂項放縮，即可證明結果成立.
試題解析：（1）由已知：，∴由題知，解得；
于是，
當時，，為增函數，
當時，，為減函數，
即的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（2）由（1），，即的最大值為，
由題知：對，，使得恒成立，
只須，
，
∴只須，解得．
（3）要證明．
只須證，
只須證．
由（1）當時，，為減函數，
，即，∴當時，，
，

．