Question

【題目】如圖為半圓的直徑，點(diǎn)是半圓弧上的兩點(diǎn)， ， ．曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且曲線上任意點(diǎn)滿(mǎn)足： 為定值.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，求面積最大時(shí)的直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】試題分析：（1）先求P點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求,最后根據(jù)橢圓定義確定a,c,b（2）先設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求EF，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，再根據(jù)三角形面積公式得面積關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)基本不等式求最值，根據(jù)等號(hào)成立條件確定直線的方程

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義，曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，.

，

，，曲線的方程為；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則.

由得，

，

，

又點(diǎn)到直線的距離， 的面積 .

令，則.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值.

此時(shí)直線的方程為或．