Question

（本小題滿分12分）已知函數．
（1）當時，證明函數只有一個零點；
（2）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍

Answer 1

(1) 略．
(2)

解：（Ⅰ）當時，，其定義域是………1分
∴                  ………………………2分  
令，即，解得或．
，∴ 舍去．                         …………………3分
當時，；當時，．
∴ 函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
∴ 當x =1時，函數取得最大值，其值為．
當時，，即．
∴ 函數只有一個零點．                      ………………………6分 
（Ⅱ）顯然函數的定義域為
∴ ……………7分
①當時，在區間
上為增函數，不合題意………9分
②當時，等價于，即
此時的單調遞減區間為．
依題意，得解之得．                    …………………9分
當時，等價于，即
此時的單調遞減區間為，
∴    得            ………………………11分
綜上，實數的取值范圍是
         ………………………12分
法二：
①當時，
在區間上為增函數，不合題意……………7分
②當時，要使函數在區間上是減函數，
只需在區間上恒成立，只要恒成立，
解得或                  ………………………11分
綜上，實數的取值范圍是
        ………………………12分