Question

【題目】已知（且）在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，，其中.

（1）直接寫出的解析式和單調(diào)性；

（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若，使得對，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），減函數(shù)；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，得出，可解出實數(shù)的值，并判斷出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由，可得出對任意的實數(shù)恒成立，由參變量分離法得出，求出的取值范圍，即可得出實數(shù)的取值范圍；

（3）由題意可得，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分與的大小關(guān)系，求出函數(shù)在區(qū)間上最大值，然后解出不等式即可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

由題意可得，即，

且，解得，，則函數(shù)為減函數(shù)；

（2）由（1）可得，由，即，即，即對任意的恒成立，即.

，，，因此，實數(shù)的取值范圍是；

（3）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則.

由題意可得，.

二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.

當(dāng)時，且當(dāng)時，，則，解得，此時；

當(dāng)時，且當(dāng)時，，則，解得，此時.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.