Question

【題目】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： （Ⅰ）A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO， ∵E為AA1的中點，O為AC的中點
∴EO為△A1AC的中位線
∴EO∥A1C
又∵EO平面BDE，A1C平面BDE
∴A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD
∴AA1⊥BD
又∵四邊形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA1∩AC=A，AA1、AC平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE．

【解析】（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，△A1AC中利用中位線，得EO∥A1C．再結合線面平行的判定定理，可得A1C∥平面BDE；（II）根據正方體的側棱垂直于底面，結合線面垂直的定義，得到AA1⊥BD．再結合正方形的對角線互相垂直，得到AC⊥BD，從而得到BD⊥平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以證出平面A1AC⊥平面BDE．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．