Question

【題目】設正項等差數列的前n項和為，已知且成等比數列

（1）求數列的通項公式；

（2）若，求數列的前n項和；

（3）設數列滿足求證：

Answer 1

【答案】(1) (2) 數列的前n項和為 (3)證明見解析.

【解析】

(1)等差數列的首項為，公差為，由條件可得，，即，兩式聯立可得：，或，經檢驗滿足條件.

(2)設,可得當時，，當時，，則當時，，當時，，分情況求和即可.
(3) 由（1）有，由有，則則或,若則不等式顯然成立. 若,則，由裂項相消法求和可證明.

(1)等差數列的首項為，公差為，

由有，即…… ①

由成等比數列，有，即……②

將①代入②得：

即解得：，或.

當時，與題目矛盾，舍去.

當時，，滿足條件，此時

(2)設，

當時，，即

當時，，即

設數列的前n項和為

所以當時，

當時，

所以數列的前n項和為

(3)由（1）有

由有，所以

則或

若則不等式顯然成立.

若，

則

即所以

則

綜上所以成立.