Question

【題目】已知數列的前項和為，滿足，，數列滿足，，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）求證：數列是等差數列，求數列的通項公式；

（3）若，數列的前項和為，對任意的，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，；（3）或.

【解析】

（1）運用數列的遞推式以及數列的和與通項的關系可得，再由等比數列的定義、通項公式可得結果；（2）對等式兩邊除以，結合等差數列的定義和通項公式，可得所求；（3）求得，由數列的錯位相減法求和，可得，化簡,即，對任意的成立，運用數列的單調性可得最大值，解不等式可得所求范圍．

(1)，可得，即；

時,,又，

相減可得,即，

則；

(2)證明：，

可得，

可得是首項和公差均為1的等差數列，

可得,即；

(3) ，

前n項和為，

，

相減可得

，

可得，

,即為，

即,對任意的成立，

由，

可得為遞減數列，即n=1時取得最大值12=1，

可得，即或.