Question

【題目】如圖，在海岸線l一側P處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便登島游客，在l上設立了M，N兩個報名接待點，P，M，N三點滿足任意兩點間的距離為公司擬按以下思路運作：先將M，N兩處游客分別乘車集中到MN之間的中轉點Q處點Q異于M，N兩點，然后乘同一艘游輪由Q處前往P島據統計，每批游客報名接待點M處需發車2輛，N處需發車4輛，每輛汽車的運費為20元，游輪的運費為120元設，每批游客從各自報名點到P島所需的運輸總成本為T元．

寫出T關于的函數表達式，并指出的取值范圍；

問：中轉點Q距離M處多遠時，T最小？

Answer 1

【答案】（1），其中；（2）

【解析】

利用正弦定理求得，，則，

由利潤與運費的關系可求出函數的解析式； 由（1）可得，其中，通過函數的導數判斷函數的單調性，利用單調性求解函數的最值即可．

由題知在中，，

，，，

由正弦定理知，

即，，

則，

由題意可得，

，其中，

由，其中得，

，令解得，

，存在唯一的，使得，

當時，，即函數S在區間上為單調遞減，

當時，，即函數S在區間上為單調遞增，

故當即時，T最小，

則，

答：當中轉點Q距離M處時，S最小.