Question

【題目】（12分）

已知函數.

（1）當時，判斷函數的單調性；

（2）若函數處取得極大值，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減.

（2）.

【解析】分析：（1）由時，，求得，令，求得，利用求得的單調性，又由，得到，進而得到函數的單調性；

（2）由，求得，令，求得且，可分和和三種情況分類討論，得到函數在處取得最大值，進而求得實數的取值范圍.

解析：（1）當時，，則 ，

設，則，

當時，，時，，

所以函數在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，

又，所以當時，，即，

所以函數在區間內單調遞減.

（2）由已知得，則，

記，則，且，

①若，則當時，，所以函數在區間內單調遞增，

且當時，，即，

當時，，即，

又，所以函數在處取得極小值，不滿足題意.

②若，則，當時，，

故函數在區間內單調遞增，且當時，，即，

當時，，即，又，

所以函數在處取得極小值，不滿足題意.

③當時，則，由（1）知函數在區間內單調遞減，

故函數在區間內單調遞減，不滿足題意，

④當時，，當，即，

故函數在區間內單調遞減，且當時，，即，

當時，，即，又，

所以在處取得極大值，滿足題意，

綜上，實數的取值范圍是.