Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在定義域上為單調增函數。

①求的最大整數值；

②證明：

Answer 1

【答案】(1) .

(2) ①2；②證明見解析.

【解析】分析：（1）當時，化簡函數的解析式，求出函數的導數，求出斜率，然后利用點斜式求函數的圖象在處的切線方程；（2）①函數在定義域上為單調增函數，則恒成立.先證明，設，則，推出

當時，恒成立，當時，，即不恒成立，可得的最大整數值為；②由①知，，令，由此可知，當時，，當時，；當時，.....；當時，，即可得出結論.

詳解：（1）當時，

∴

又，

所以

所求切線方程為，即

（2）由題意知，

若函數在定義域上為單調增函數，則恒成立，

①先證明，設，則

則函數在單調遞減，在單調遞增

所以，即

同理可證，

所以，

所以

當時，恒成立，

當時，，即不恒成立

綜上所述，的最大整數值為

②由①知，，令

所以，

所以

由此可知，當時，

當時，

當時，.....，

當時，

累加得

又

所以

即