Question

【題目】設(shè)函數(shù)F（x）= ，其中f（x）=log2（x2+1），g（x）=log2（|x|+7）．
（1）在實(shí)數(shù)集R上用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)F（x）的解析式；
（2）求函數(shù)F（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：F（x）= ，

令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），得x2﹣|x|﹣6≥0，

解得：x≤﹣3或x≥3，（5分）∴F（x）=

（2）

解：當(dāng)x≥3或x≤﹣3時(shí)，F(xiàn)（x）=log2（x2+1），設(shè)u=x2+1≥10，y=log2u在[10，+∞）上遞增，所以F（x）min=log210；（說明：設(shè)元及單調(diào)性省略不扣分）

同理，當(dāng)﹣3＜x＜3，F(xiàn)（x）min=log27；

又log27＜log210∴x∈R時(shí)，F(xiàn)（x）min=log27．

或解：因?yàn)镕（x）是偶函數(shù)，所以只需要考慮x≥0的情形，

當(dāng)0≤x＜3，F(xiàn)（x）=log2（x2+7），當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）min=log27；

當(dāng)x≥3時(shí)，F(xiàn)（x）=log2（x2+1），當(dāng)x=3時(shí)，F(xiàn)（x）min=log210；

∴x∈R時(shí)，F(xiàn)（x）min=log27

【解析】（1）令log2（x2+1）≥log2（|x|+7），解得：x的取值范圍，再結(jié)合F（x）的意義用分段函數(shù)形式寫出函數(shù)F（x）的解析式即可；（2）先分情況討論函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)x≥3或x≤﹣3時(shí)；當(dāng)﹣3＜x＜3，分別求出F（x）的最小值，最后綜合得出x∈R時(shí)，F(xiàn)（x）min=log27．或利用F（x）的奇偶性，只需要考慮x≥0的情形，只須分兩種情形討論：當(dāng)0≤x＜3，當(dāng)x≥3時(shí)，分別求得F（x）的最小值即得．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的值域，需要了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的才能得出正確答案．