Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）判斷并證明的單調性；

（Ⅱ）是否存在實數，使函數為奇函數？證明你的結論；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上為增函數；

（Ⅱ）時,是上的奇函數，證明見解析；

（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）直接由函數單調性的定義加以證明；

（Ⅱ）由奇函數的性質得f（0）＝0，求得a的值，然后利用奇函數的定義證明a＝1時函數f（x）為奇函數．

（Ⅲ）由題意將m進行參數分離，得到，利用換元法求得不等式右邊的最小值即可.

（Ⅰ）任取，且，則

，即

又，

，即

在上為增函數

（Ⅱ）假設存在實數，使函數為奇函數,

,，即.

時,是上的奇函數.

（Ⅲ）即恒成立，

∵，∴，即

∴（）恒成立，

設（），則

當且僅當，即時等號成立.

的最小值為

∴

即實數的取值范圍為.