Question

【題目】數列滿足：

（1）求的值；

（2）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；

（3）設假設恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)，，；(2)證明見詳解，；(3).

【解析】

（1）根據遞推公式，進行賦值即可求得；

（2）根據等差數列的定義，用其后一項減去前一項，證明其為常數即可；

（3）先根據利用裂項求和求得，再將恒成立問題轉化為二次函數恒成立問題即可.

（1）因為

故可得

因為，根據，可解的；

由，可得

則，

綜上：，，.

（2）證明：由（1）知：

故，

故數列是首項為-4，公差為-1的等差數列，即證.

故，解得.

（3）由（2）知，因為，

故可得

故

故，又

故恒成立，等價于恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，.

當時，恒成立，滿足題意；

當時，由二次函數的性質可知，顯然不成立；

當時，對稱軸

故在單調遞減，要滿足題意，只需即可，即，解得,

又因為，故.

綜上當時，恒成立.