Question

某玩具生產公司每天計劃生產衛兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產一個衛兵需5分鐘，生產一個騎兵需7分鐘，生產一個傘兵需4分鐘，已知總生產時間不超過10小時．若生產一個衛兵可獲利潤5元，生產一個騎兵可獲利潤6元，生產一個傘兵可獲利潤3元．
（1）用每天生產的衛兵個數x與騎兵個數y表示每天的利潤W（元）；
（2）怎樣分配生產任務才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

（1）依題意每天生產的傘兵個數為100-x-y，
所以利潤W=5x+6y+3（100-x-y）
=2x+3y+300（x，y∈N）．
（2）約束條件為

5x+7y+4(100-x-y)≤600 100-x-y≥0 x≥0 y≥0

整理得

x+3y≤200 x+y≤100 x≥0 y≥0

目標函數為W=2x+3y+300，
如圖所示，作出可行域．
初始直線l₀：2x+3y=0，平移初始直線經過點A時，W有最大值．
由

x+3y=200 x+y=100

得

x=50 y=50

最優解為A（50，50），
所以W_max=550（元）．
答：每天生產衛兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，為550（元）