Question

（2012•深圳一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，BD=

2

，沿BD將△BCD折起，使二面角A-BD-C是大小為銳角α的二面角，設C在平面ABD上的射影為O．

（1）當α為何值時，三棱錐C-OAD的體積最大？最大值為多少？
（2）當AD⊥BC時，求α的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意可得BD⊥OD，可得S△AOD=

1

2

OD•BD，OC⊥平面ABDO，利用三棱錐的體積計算公式和正弦函數的單調性即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，由AD⊥BC，?

AD

•

BC

=0，即可得出．

解答：解：（1）由題知OD為CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，則OC=CDsinα，OD=CDcosα．
∴VC-AOD=

1

3

S△AOD•OC=

1

3

•

1

2

•OD•BD•OC
=

2

6

•OD•OC=

2

6

•CD•sinα•CD•cosα=

2

3

•sin2α≤

2

3

，
當且僅當sin2α=1，即α=45°時取等號，
∴當α=45°時，三棱錐O-ACD的體積最大，最大值為

2

3

．        
（2）過O作OE⊥AB于E，則OEBD為矩形，
以O為原點，OE，OD，OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O(0， 0， 0)， D(0， 2cosα， 0)， A(

2

， 2cosα-2， 0)，
B(

2

， 2cosα， 0)，C(0， 0， 2sinα)，
于是

AD

=(-

2

， 2， 0)，

BC

=(-

2

，  -2cosα， 2sinα)，
由AD⊥BC，得

AD

•

BC

=0，
∴(-

2

)×(-

2

)+2×(-2cosα)+0×2sinα=0，
得cosα=

1

2

，又α為銳角，∴α=60°．

點評：本題主要考察空間點、線、面位置關系，棱錐的體積、二面角及三角函數等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數學問題的能力．