Question

【題目】已知，（其中）.

（1）求及；

（2）試比較與的大小，并用數學歸納法給出證明過程.

Answer 1

【答案】（1） ，3n-2n；（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)賦值，取x=1，則a0=2n； 取x=2，則∴Sn= 3n-2n；

(2)分別考查的情況，猜想當n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2，然后用數學歸納法證明結論即可.

試題解析：

解：（1）取x=1，則a0=2n；

取x=2，則a0+a1+a2+a3++an=3n，∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n；

（2）要比較Sn與（n-2）2n+2n2的大小，即比較：3n與（n-1）2n+2n2的大小，

當n=1時，3n＞（n-1）2n+2n2；

當n=2，3時，3n＜（n-1）2n+2n2；

當n=4，5時，3n＞（n-1）2n+2n2

猜想：當n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2，

下面用數學歸納法證明：

由上述過程可知，n=4時結論成立，

假設當n=k，（k≥4）時結論成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，

兩邊同乘以3得：3k+1＞3 [（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]

而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0

∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2 即n=k+1時結論也成立，

∴當n≥4時，3n＞（n-1）2n+2n2成立．