【題目】如圖，在四棱錐
中，四邊形
為梯形， 
，且
， 
是邊長為2的正三角形，頂點
在
上的射影為點
，且
， 
， 
.
（1）證明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：（1） 取
的中點為
，連接
利用直角三角形的性質，可分別求出
的值，由勾股定理得
．可得
面
，可證平面
平面
；（2）以
所在直線為
軸， 
所在直線為
軸，過點
作平面
的垂線為
軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出兩個半平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角的夾角的關系，可求二面角的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）證明：由頂點
在
上投影為點
，可知， 
．
取
的中點為
，連結
， 
．
在
中， 
， 
，所以
．
在
中， 
， 
，所以
．
所以， 
，即
．
∵ 
∴
面
．
又
面
，所以面
面
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 
， 
，且
所以 
面
，且
面
．以
所在直線為
軸， 
所在直線為
軸，點
作平面
的垂線為
軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
， 
， 
，
設平面
， 
的法向量分別為
，則
，則
，
，則
，
，
所以二面角
的余弦值為
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示是一個算法程序框圖，在集合
， 
中隨機抽取一個數值作為
輸入，則輸出的
的值落在區間
內的概率為
A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）= 
+x．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）證明：函數f（x）在區間（1，+∞）上為增函數；
（3）求函數f（x）在區間[1，3]的最值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當x∈（0，+∞）時，ln 
＞ 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）= 
，且f（x）=f（x+2），g（x）= 
，則方程g（x）=f（x）﹣g（x）在區間[﹣3，7]上的所有零點之和為（ ）
A.12
B.11
C.10
D.9
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點
是圓
上的任意一點，設
為該圓的圓心，并且線段
的垂直平分線與直線
交于點
.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）已知
兩點的坐標分別為
， 
，點
是直線
上的一個動點，且直線
分別交（1）中點
的軌跡于
兩點（
四點互不相同），證明：直線
恒過一定點，并求出該定點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
分別是橢圓 
的長軸與短軸的一個端點， 
分別是橢圓
的左、右焦點， 
橢圓上的一點， 
的周長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
是圓
上任一點，過點作
橢圓
的切線，切點分別為
，求證： 
.
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