Question

在直三棱柱中,AA₁=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中點.

(1)求證:B₁C∥平面A₁BD；
(2)求平面A₁DB與平面DBB₁夾角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）平面A₁DB與平面DBB₁夾角的余弦值為．

解析試題分析：（1）求證:平面；利用線面平行的判定定理，證明線面平行，即證線線平行，可利用三角形的中位線，或平行四邊形的對邊平行，本題由于是的中點，可連接交與點，連接，利用三角形中位線的性質，證明線線平行即可；（2）求平面與平面夾角的余弦值，取中點，則平面，則兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．
試題解析：(1)連接AB₁交A₁B與點E，連接DE，則B₁C∥DE，則B₁C∥平面A₁BD4分
(2)取A₁C₁中點F,D為AC中點,則DF⊥平面ABC,
又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB兩兩垂直,
建立如圖所示空間直線坐標系D-xyz,則D(0,0,0), B(0,,0),A₁(-1,0,3)

設平面A₁BD的一個法向量為,


取，則，     8分
設平面A₁DB與平面DBB₁夾角的夾角為θ，平面DBB₁的一個法向量為，         10分
則
∴平面A₁DB與平面DBB₁夾角的余弦值為．    12分
考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；二面角的平面角及求法．