Question

定長為3的線段AB的兩端點在拋物線y²=x上移動，記線段AB的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求此時點M的坐標．

Answer 1

分析：先用A、B點的坐標表示點M，則點M到y軸的距離即為其橫坐標建立距離模型，再利用基本不等式法求得最值，由取得等號的條件求得M點的坐標．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB長度為3，
那么x₁=y₁²，x₂=y₂²，（1）
3²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（y₂²-y₁²）²+（y₂-y₁）²=（y₂-y₁）²[（y₂+y₁）²+1]（2）
線段AB的中點M（x，y）到y軸的距離為x=

x1+x2

2

=

1

2

(

y

2 1

+

y

2 2

)=

1

4

[(y1-y2)2+((y1+y2)2+1)-1]≥

1

4

[2

(y1-y2)2((y1+y2)2+1)

-1]
由（2）得x≥

1

4

(2×3-1)=

5

4

，并且當（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+1=3（3）
時x取得最小值x₀=

5

4

下證x能達到最小值，根據題意不妨設y₁＞y₂，由（3）得

y1-y2= 3 y1+y2=± 2

由此解得y₁，y₂，由（1）解得x₁，x₂，所以x可取得最小值

5

4

．
相應的M點縱坐標y0=

y1+y2

2

=±

2

2

∴M點坐標為(

5

4

，

2

2

)或(

5

4

，-

2

2

)

點評：本題主要考查建模和解模的能力．