Question

定長為3的線段AB兩端點A、B分別在x軸，y軸上滑動，M在線段AB上，且．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設過且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA，DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y），則，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（2）設滿足條件的點D（0，m），設l的方程為：，代入橢圓方程，得，設，．由以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，知，由此能導出存在滿足條件的點D．
解答：解：（1）設A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
則，|AB|=3==1
（2）存在滿足條件的D點．設滿足條件的點D（0，m），
則，設l的方程為：y=kx+，（k≠0），代入橢圓方程，
得（k²+4）x²+2kx-1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2．∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴，=，的方向向量為（1，k），=0，
∴--2mk=0即m=∵k²＞0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在滿足條件的點D．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．