Question

【題目】在圓 上任取一點(diǎn) ，點(diǎn) 在 軸的正射影為點(diǎn) ，當(dāng)點(diǎn) 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，動(dòng)點(diǎn) 形成的軌跡為曲線 ．
（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）點(diǎn) 在曲線 上，過點(diǎn) 的直線 交曲線 于 兩點(diǎn)，設(shè)直線 斜率為 ，直線 斜率為 ，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ， 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，則 ，

因?yàn)辄c(diǎn) 在圓 ，所以 ①

把 ， 代入方程①，得 ，

所以曲線 的方程為 ．

（Ⅱ）方法一：由題意知直線 斜率不為0，設(shè)直線 方程為 ，

由 消去 ，得 ，

易知 ，得

．所以 為定值

方法二：（ⅰ）當(dāng)直線 斜率不存在時(shí)，

所以

（ⅱ）當(dāng)直線 斜率存在時(shí)，設(shè)直線 方程為 ，

由 消去 ，得 ，

易知 ，

．所以 為定值

【解析】(I)用代入法求點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)為 ( x , y ) ， 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( , ),找到x,y與的關(guān)系即可。
（II）此題結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系，考察定值問題；因此設(shè)出直線的方程，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到點(diǎn)B、D的坐標(biāo)的關(guān)系，再利用直線的斜率的坐標(biāo)公式表示出即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解斜率的計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí)，掌握給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1，以及對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．