Question

【題目】如圖，在以為頂點，母線長為的圓錐中，底面圓的直徑長為2，是圓所在平面內一點，且是圓的切線，連接交圓于點，連接，.

（1）求證：平面平面；

（2）若是的中點，連接，，當二面角的大小為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由是圓的直徑，與圓切于點，可得,

由底面圓，可得，利用線面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，，可推出，利用線面垂直的判定定理可證平面，從而利用面面垂直的判定定理可證出平面平面.

（2）由，，可知為二面角的平面角，

即，建立空間直角坐標系，易知，

求得點的坐標如下；，，

，，，

由（1）知為平面的一個法向量，

設平面的法向量為，

，，

通過，，∴，，

可求出平面的一個法向量為，

∴.

∴ 平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

解：（1）是圓的直徑，與圓切于點，

底面圓，∴

，平面，∴.

又∵在中，，∴

∵，∴平面，從而平面平面.

（2）∵ ，，∴為二面角的平面角，

∴ ，

如圖建立空間直角坐標系，易知，

則，，

，，，

由（1）知為平面的一個法向量，

設平面的法向量為，

，，

∵ ，，∴，，

∴ ，即

故平面的一個法向量為，

∴.

∴ 平面與平面所成銳二面角的余弦值為.