Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，△PBC為等邊三角形，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．

（1）求直線PB和平面ABC所成的角的大小；

（2）求證：平面PAC⊥平面PBC；

（3）已知E為PO的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的點(diǎn)，AF＝AB．若EF∥平面PAC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）先找到直線PB與平面ABC所成的角為,再求其大小；（2）先證明,

再證明平面PAC⊥平面PBC；（3）取CO的中點(diǎn)G,連接EG,過點(diǎn)G作FG||AC,再求出的值.

（1）因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC，PO⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,,

所以PO⊥平面ABC,

所以直線PB與平面ABC所成的角為,

因?yàn)?/span>，

所以直線PB與平面ABC所成的角為.

(2)因?yàn)?/span>PO⊥平面ABC,

所以,

因?yàn)?/span>AC⊥PB，,

所以AC⊥平面PBC,

因?yàn)?/span>平面PAC,

所以平面PAC⊥平面PBC.

(3)

取CO的中點(diǎn)G,連接EG,過點(diǎn)G作FG||AC,

由題得EG||PC,所以EG||平面APC,

因?yàn)?/span>FG||AC，所以FG||平面PAC,

EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,

所以平面EFO||平面PAC,

因?yàn)?/span>EF平面EFO,

所以EF||平面PAC.

此時(shí)AF=.