Question

已知函數.
（1）若函數為奇函數，求a的值；
（2）若，直線都不是曲線的切線，求k的取值范圍；
（3）若，求在區間上的最大值．

Answer 1

（1）；（2）;(3) 當或時，在處取得最大值；當時，取得最大值；當時，在取得最大值；當時，在處都取得最大值0.

試題分析：（1）首先求出導數：，
代入得：.
因為為奇函數，所以必為偶函數，即，
所以.
（2）若，直線都不是曲線的切線，這說明k不在的導函數值域范圍內. 所以求出的導函數，再求出它的值域，便可得k的范圍.
（3）.
由得：.
注意它的兩個零點的差恰好為1，且必有.
結合導函數的圖象，可知導函數的符號，從而得到函數的單調區間和極值點.
試題解析：（1）因為，
所以            2分
由二次函數奇偶性的定義，因為為奇函數，
所以為偶函數，即，
所以                                4分
（2）若，直線都不是曲線的切線，即k不在導函數值域范圍內.
因為，
所以對成立，
只要的最小值大于k即可，所以k的范圍為.7分
（3）.
因為，所以，
當時，對成立，在上單調遞增，

所以當時，取得最大值;
當時，在，，單調遞增，在時，，調遞減，

所以當時，取得最大值;
時，在，，單調遞減，

所以當時，取得最大值;.10分
當時，在，，單調遞減，在，，單調遞增,

又，，
當時，在取得最大值;
當時，在取得最大值；
當時，在處都取得最大值0．
綜上所述：當或時，在處取得最大值；
當時，取得最大值；
當時，在取得最大值；
當時，在處都取得最大值0．13分