Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+2．
（1）求f（x）單調區間
（2）求f（x）在區間[ ，3]上的最大值和最小值；
（3）若g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的對稱軸是x=1，故函數f（x）在（﹣∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增
（2）解：∵f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[ ，3]，

∴f（x）的最小值是f（1）=1，f（x）的最大值是f（3）=5，

即f（x）在區間[ ，3]上的最大值是5，最小值是1

（3）解：∵g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2

，∴ ≤2，或 ≥4，

解得m≤2或m≥6，

故m的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）

【解析】（1）求出函數 的對稱軸，從而求出函數 的單調區間即可；（2）根據f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[ ，3]，再利用二次函數的性質求得f（x）在區間[ ，3]上的最值即可；（3）根據g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2在[2，4]上是單調函數，可得 ≤2，或 ≥4，由此求得m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．