Question

【題目】如圖，在多面體中，已知四邊形為矩形，為平行四邊形，點在平面內的射影恰好為點，的中點為，的中點為，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明過程如解析所示；（2）

【解析】試題分析：（1）由點E在平面ABCD內的射影恰為A，可得AE⊥平面ABCD，進一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD為直徑的圓經過A，C，AD=AB，可得BCD為正方形，再由線面垂直的性質可得BC⊥平面ABEG，從而得到EF⊥BC，結合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=，從而得到∠AEF+∠AEB=，有EF⊥BE．再由線面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；（2） 連接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，則AE⊥AD，又AB⊥AD，則AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等積法求幾何體ADC-BCE的體積．

試題解析：（1）證明：∵點在平面內的射影恰好為點，∴平面，

又平面，∴平面平面.

∵為矩形，又平面平面，∴平面.

∵平面，，又，∴，

又的中點為，∴，

∵，∴，

又，∴平面.

又平面，∴平面平面.

（2）∵平面，的中點為，為平行四邊形，，

∴三棱錐的高為,

又，

∴.